Suites
arithmétiques
et suites géométriques:
-I- SUITES ARITHMETIQUES :
Relation de récurrence :
On dit qu’une suite (un) est une suite arithmétique lorsqu’il
existe un réel r tel que: un+1=un+r pour tout
entier n.
Le nombre r est appelé raison de la suite.
Autrement dit, dans une suite arithmétique on passe d’un terme
à l’autre en ajoutant toujours le même nombre.
On dit que les suites arithmétiques ont un accroissement (ou une diminution)
constant(e). Elles caractérisent les croissances linéaires.
Conséquence :
Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il faut et il suffit
de montrer que la différence entre deux termes consécutifs quelconques
est constante (un+1 - un = r).
Théorème :
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.
Alors, pour tout entier naturel n, un = u0 + nr.
Remarques :
- Les suites arithmétiques sont des suites affines. Elles sont représentées
par des droites.
- La représentation graphique d’une suite arithmétique s’obtient
aisément en traçant la droite d’équation y = rx +
u0.
- Le coefficient directeur de la droite est la raison de la suite et u0 en est
« l’ordonnée à l’origine »
- Si (un) est une suite arithmétique, pour tout entier n et p : un -
up = (n - p)r.
Propriétés :
Si r > 0, la suite (un) est croissante, si r < 0 la suite (un) est décroissante.
-II-SUITES GEOMETRIQUES :
Relation de récurrence :
On dit qu’une suite (un) est une suite géométrique lorsqu’il
existe un réel q tel que un+1 = qun pour tout entier
naturel n.
Le nombre q est appelé raison de la suite.
Autrement dit, dans une suite géométrique on passe d’un
terme à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
On dit que les suites géométriques ont un accroissement (ou une
diminution) à taux constant. Elles caractérisent les croissances
exponentielles.
Conséquence : Pour montrer
qu’une suite de réels non nuls est géométrique, il
faut et il suffit de montrer que le quotient entre deux termes consécutifs
quelconques est constant ( =q).
Théorème : Soit (un) une suite géométrique
de premier terme u0 et de raison q.
Alors, pour tout entier naturel n, un = u0qn.
-III- Autres types de croissance :
Il existe d’autres types de croissance que les croissances linéaires
ou exponentielles. Vous connaissez déjà par exemple les croissances
paraboliques correspondant à la suite de terme général
un = n2 par exemple.
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