La
Corrélation
Publicité /Chiffre
d'affaires
Problème Posé
Question
: Comment mesurer que la pub engagée à grands frais par l'entreprise
sert à quelque chose ?
Réponse : On compare l'évolution
des ventes et celle du budget publicitaire.
Un exemple permet de se rendre compte du problème.
Une entreprise communique les chiffres suivants :
| Années |
Budget Pub (K.Euros) |
Chiffre d'Affaires (K.Euros) |
| 1998 |
4.2 |
55 |
| 1999 |
5.6 |
65 |
| 2000 |
7.1 |
85 |
| 2001 |
9.3 |
105 |
| 2002 |
11.2 |
120 |
1.
Faire un graphique représentant dans le temps l'évolution du budget
publicitaire et celle du chiffre d'affaires.
2. Que remarque-t-on ?
3. Il faut mesurer le degré d'identité des variations remarquées
sur le graphique.
On emploie un tableau de calcul proche de celui de la méthode des moindres
carrés : il y a juste une colonne en plus
| PUB |
CA |
| xi |
yi |
| 4.2 |
55 |
| 5.6 |
65 |
| 7.1 |
85 |
| 9.3 |
105 |
| 11.2 |
120 |
| Moyenne
xm |
Moyenne ym |
| xi
- xm |
yi
- ym |
(xi
- xm)(yi - ym) |
| . |
. |
. |
| . |
. |
. |
| . |
. |
. |
| . |
. |
. |
| . |
. |
. |
| Somme
SXY |
| (xi
- xm)² |
(yi
- ym)² |
| . |
. |
| . |
. |
| . |
. |
| . |
. |
| . |
. |
| Somme
SXC |
Somme
SYC |
Remarquer ce que représente x et ce que représente y .
Le moyen
d'évaluer mathématiquement si les deux phénomènes
évoluent de la même façon est de calculer le coefficient
de corrélation [r] :
r = SXY / Racine(SXC * SYC)
| Valeur
de r |
Interprétation |
| 0.6
< r < 1 |
Les
deux phénomènes évoluent de la même façon.
Ils sont liés. L'évolution de l'un influe sur l'évolution de l'autre. |
| 0.3
< r < 0.6 |
Les deux phénomènes évoluent de manière approximativement identique. |
| r
< 0.3 |
Les deux phénomènes sont indépendants. Pas de rapport entre l'évolution de l'un et celle de l'autre. |
| Valeur
de r |
Vocabulaire |
| 0.6
< r < 1 |
Les deux phénomènes sont fortement corrélés. Relation linéaire entre x et y. |
| 0.3
< r < 0.6 |
Les deux phénomènes sont moyennement corrélés. |
| r
< 0.3 |
Pas de corrélation entre les deux phénomènes. |
Quelle est l'utilité de ce calcul ?
Si les deux phénomènes sont fortement corrélés, il y a une relation linéaire entre les deux phénomènes.
Cela signifie que y = f(x).
La fonction mathématique est donnée par la méthode des moindres carrés.
L'équation obtenue est celle de la droite de régression.
Le tableau de calcul est déjà fait. Rappel : a = SXY/SXC et b = ym - (a * xm)
Signification mathématique :
Cela signifie
que pour une valeur donnée de x, on peut calculer une valeur de y et
inversement.
| Valeur
de r |
Interprétation |
Vocabulaire |
| 0.6
< r < 1 |
Les deux phénomènes évoluent de la même façon. Ils sont liés. L'évolution de l'un influe sur l'évolution de l'autre. | Les deux phénomènes sont fortement corrélés. Relation linéaire entre x et y. |
| 0.3
< r < 0.6 |
Les
deux phénomènes évoluent de manière presque identique. |
Les deux phénomènes sont moyennement corrélés. |
| r
< 0.3 |
Les
deux phénomènes sont indépendants. Pas de rapport entre l'évolution de l'un et celle de l'autre. |
Pas de corrélation entre les deux phénomènes. |
Signification commerciale :
Si l'on applique un budget publicitaire (x), on obtiendra une valeur du Chiffre d'affaires (y) :
y = ax + b.
Si l'on veut atteindre un chiffre d'affaires (y), on calcule le budget publicitaire (x) :
x = (y - b) / a
Validité de la méthode :
Comme pour l'extrapolation, la corrélation et la régression ne sont qu'une modélisation mathématique.
Les phénomènes commerciaux ne dépendent pas que d'une seule cause.
L'évolution du chiffre d'affaires peut être dûe à celle de la publicité, mais aussi des performances du produit, de son prix, de la concurrence …
Le calcul de la corrélation et de la régression ne donnent donc qu'une indication relative sur l'évolution des ventes.