G.DEBREU

La théorie de la valeur de Debreu.

Natif de Calais, Gérard Debreu, prix Nobel d'économie, est peu connu dans sa région d'origine. Son éloignement (il a fait toute sa carrière universitaire aux Etats Unis) et la très grande abstraction qui préside à ses travaux scientifiques ont largement contribué à cette méconnaissance. La présentation synthétique que nous tentons ici vise à reconstituer, sous l'angle simplificateur de la logique déductive, le raisonnement de l'auteur.

Si l'économie politique commence quelquefois par des "robinsonnades" ou par une scène de la création du type "Adam et Eve", la théorie économique moderne commence par l'analyse des situations de survie. Ce cas, très universel, permet de mieux comprendre comment la personne économique internalise des contraintes dans ses choix afin de se procurer le minimum vital. Survivre, c'est trouver par une stratégie donnée le mininum vital. Tout dépend de la dotation initiale. Il se peut qu'aucune stratégie ne permette de s'en sortir.

La "Théorie de la Valeur" de Gérard Debreu (1966) déduit de propriétés préétablies des ensembles de production et de consommation deux théorèmes fondamentaux :

-Le théorème d'existence d'un équilibre général par rapport à un système de prix au sein d'une économie de propriété privée.

-L'équivalence entre l'équilibre pour un système de prix et l'optimum dans le cadre d'une économie simplifiée.

Le cadre et le raisonnement correspondants sont inhabituels : faisant explicitement référence à l'axiomatique, dans quelle mesure font-ils appel à la logique déductive ? Cette question fait l'objet de cette présentation de la théorie de la valeur de Debreu.

Les applications de la logique déductive sont rares dans une science économique, plutôt disposée à la logique inductive. Deux théories très particulières peuvent être citées à ce titre:

- la théorie économique des choix collectifs (depuis Arrow, 1951) dont la formalisation est empruntée à la logique déductive ( Tarski).

- la théorie des prix de production (Sraffa, 1960), dont le rapport à la logique, en particulier à Wittgenstein, reste une énigme.

Elles témoignent, toutes les deux des difficultés à appliquer les deux conditions de la formalisation logique, l'homogénéité et l'atemporalité du raisonnement.

Ces conditions liées à la logique sont examinées ici à travers le cadre général de raisonnement de Debreu que l'on rappelle initialement. Ce cadre se compose de conditions économiques et systémiques que nous présenterons successivement:

- Les conditions économiques tiennent aux conventions de la théorie micro-économique à propos du comportement du producteur et du consommateur.

- Les conditions systémiques ont trait à l'appareil démonstratif utilisé. Les deux principaux théorèmes sont démontrés à l'aide de deux propriétés de la topologie : le théorème du point fixe de Brouwer-Kakutani et le théorème de séparation de Minkowski.

Enfin, sous ces conditions complexes, Debreu démontre l'existence d'un équilibre général de marché sous des hypothèses fortes dans le cadre d'une économie de propriété privée. Cela lui permet ensuite de déduire l'équivalence entre optimum et équilibre simplifié de marché.

La démonstration de l'équilibre général a pour but de montrer que les plans d'action des consommateurs et des producteurs au sein d'une économie peuvent être conciliés avec les ressources disponibles pour des prix donnés sous certaines conditions.

Cet équilibre est démontré initialement sous des conditions "fortes" dans le cadre d'une économie de propriété privée (soit un E-équilibre). Dans cette situation, chaque producteur maximise son profit qu'il distribue aux consommateurs actionnaires. Ces derniers possèdent en effet les ressources et contrôlent les producteurs. Si ce cadre de propriété privé est abandonné, on aura sous des conditions plus faibles, un E-équilibre dans une économie simplifiée.

Les démonstrations de l'équilibre font intervenir deux types de conditions :

-Des conditions économiques : les concepts et les lois retenus répondent aux conventions de la théorie économique.

-Des conditions systémiques : qui permettent à ce schéma économique d'obéir aux propriétés mathématiques utilisées dans la démonstration.

-Les conditions systémiques tiennent à l'appareil démonstratif utilisé.

Les deux principaux théorèmes sont démontrés à l'aide de deux propriétés de la topologie : le théorème du point fixe de Brouwer-Kakutani et le théorème de séparation de Minkowski.

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